*0.はじめに ** 今朝アナウンスしましたが -私は，「状況にうまく対応できるようにする」ことと「それぞれの学びを最大限に保障する」ための手段としてICTを使うことが大切だと思っています。 --そのような意味で，たとえば，今日の天候で，「学びのためのプラス」と「リスクというマイナス」のバランスシートから，対面・オンデマンドを自主的にみなさんが判断することを求めます。 -でも，それは「学びの継続」は間違いなく求めていることは理解してください。 --自分にとって適切な学びを行い，まなびネットに提出することは不可欠です。 -「公的なルールはまだそうなっていない」ことも理解してください。 --大学のルールとして，それが許容されているわけではありません。極端にいえば，「欠席は欠席としてカウントするしかない」わけですが，「来れないのだから授業あるいは学びに参加しなくていい」と考えているわけではないのです。 -「状況に応じた判断」と，「そのことの共有」 --みなさん自身だけで，「勝手に解釈するだけ」は適切ではありません。基本的には，「相手(この授業の場合，授業者としての私)との情報共有」は不可欠です。 -これまでも，授業に参加しない方や，まなびネットへの提出が芳しくない方，(たとえ出席していてな)「まなびが低調な方」は一定数います。 --「いい学び」の継続を，期待しています。 --「そうだ，ここのところ，ちゃんと学ぼう」と思ったとき，「web上のリソース」など，自分の学びを実現していく上でそれをサポートするための環境整備に，ICTはかなり役立つはずなのです。 -そしてまた，みなさんが，そういうものとして，ICTを使えるようになっていただきたいという思いも，そこにはあるのです。 **0.0 まなびネットへの書き込みは，できるだけ水曜日夕方までに -それを過ぎたものは，下記のような感じで反映することはできません。 **0.1 陽関数/陰関数 -関数グラフソフトを念頭において- *** たとえば，Grapes / 高校で先生が使っていたのではないでしょうか。 - 関数のグラフを書いてくれるソフトが，いろいろとあります。 -- それらのもっとも基本的な機能はなにでしょう。 **** y = f(x) と f(x,y) = 0 - たとえば，Grapes --@https://grapes-light.app/,https://grapes-light.app/ --@https://tomodak.com/grapes/,https://tomodak.com/grapes/ <img src="07-01.png" width=400><br> -ここでの関数は，xがきまればyが一つきまる関数で，「陽関数」です。 -ここでの関係式は，条件を満たす(x,y)をプロットするもので，「陰関数」です。 **** 「式を入力したら，そのグラフをかいてくれる」 -たとえば，数II,IIIでの一つの基本的な目標は，式に対してグラフの概形をかくことであり，そのために，増減表等を使ったりするわけですが，このソフトでは，「その正解をそのまま表示してくれる」ともいえるでしょう。 *** 利点と欠点 -「いろいろな式」を入れれば，すぐに結果が表示されるという意味で，とても便利です。 - でも，「その意味がそう簡単にはわからない」可能性もないわけではありません。 -「ボタンを押したら答えが出る」だけでは，授業等では教育的な価値があまりないので，「それが意味を持つように位置づける」ことが不可欠です。 **0.2 GCにおける軌跡の二つの側面を，陽関数と陰関数の観点で理解するなら -「作図そのもの」が関数の定義でもあるわけです。 - Pがきまったら，Qがきまる - このとき，Pがある直線上を動いたら，あるいは円上を動いたら、Qはどうなるのかは， -- {Q=f(P)∈R^2, Pはある直線/円などの上} -という意味で，陽関数なわけです。 - ある条件を満たすときに，点をプロットするわけですから， -- {P∈R^2 | ある条件を満たすP} - たとえば，Pに関する条件が式で表示可能なときには -- {P∈R^2 | f(P)=0} -また，P=(x,y) であることを考えると -- {P∈R^2 | f(x,y)=0} -ともいうことができるのです。 **0.2 「一つ一つプロットしていく」のと「ボタンで一気に」はなにがちがうのか。 -Grapesは，大阪教育大学附属高校池田校舎にいらした，友田先生がつくっています。 --つまり，「高校的」あるいは，「高校生の思考向き」なのです。 -もし，「中学生」にとって，一次関数や二次関数のグラフを描画してくれるソフトとして使おうと思うと，どういう点に課題がありそうですか? -逆に，中学生が関数を学ぶときには，どういうプロセスを経ることを期待していですか? *** GCでの「条件を満たす点の集合」でも，同じようなことがいえる。 - GCはかなり，「中学生向け」につくっています。 - 「どういうところが，中学生向け」なのでしょう。 - 高校生が使う上では，どういうところを配慮しないといけないのでしょう。 - ただし，高校生は，「その高校によって，いろいろな生徒集団がある」ので，実は「生徒に合わせる」というのは，かなり多様な対応が必要なのです。 ** 0.3 「等積変形」に関することを，みなさんはきちんと「見抜けていない」と感じます。 -GCを使うことで，「面積が等しくなるような点Pをプロットする」ことができます。 -- これはほぼ全員の人が理解していると思います。 -「確認に使うことができる」 -- これは間違いないですね。ただし，あまり積極的なソフトの使い方ではないかもしれないけど。 -「発見的に使うことができる」 -- 「点をプロットしたら，直線になる」 -- それって，どんな直線なのか。 -- どうして，それでいいのか。 -- 証明をして，納得。 --- そういう使い方をイメージできている人も多いかと思います。 --- それは正しいと思いますし，GCの使い方としての基本をよくわかっていると思います。 - 「そういう授業の流れを想定しようとしたときに発生する問題点はなるでしょう」 -- というのが，「課題」の内容なのです。 --- そのことについてきちんと言及できている人が......いたのかな? - 「普通に教科書を使った流れ」を想定してみてください。 **0.4 「今日の問題」に「まともに取り組んだ人がいない」みたいね。 - これは「任意」なので，「やらなければならない」わけではないです。 - でも，「これ，おもしろいよ」という問題に「ホンキで取り組む人がほぼいない」ということ自体，私にはあまり理解できません。 - だって，手がかりなしにいろいろな問題を探すよりも，ずっと手応えがあるはずでしょ。 *1.「わかりやすい解説」がいいのだろうか。 -たしかに，「わかりにくいこと」を，ICTを使って，「わかりやすい解説する」というのは，一つの使い方としてあると思います。 -たとえば，今回提出された話題の中では，川端さんが注目した事例は，「教科書の中で解説している内容」で，「動きをイメージして理解させたい」内容ですから，それは動きを伴って解説するというのも，一つの使い方でしょうね。 -また，いろいろな「定理」に関して，先生が解説するというのも，ありうるでしょうね。 -今回提出された話題でいえば， -- オイラー線 -- トレミーの定理 -- 「心」の軌跡に関すること -- など -時間が限られている中で，適切に提示して，その後の証明を解説するとか，証明を課題にするとか。 ** でも，ちょっと不満が残るような -できたら，「生徒中心」の流れに再構成するようなことを，このCIIの授業としてはチャレンジしてほしいかなと。 -もちろん，現実の授業でどうするかというときには，「時間」は大きな要因なので，「解説」をすることは十分にありうると思いますが。 *2.「生徒に貢献するチャンスをあげたい」 - 問題解決に関する古典的な存在の「G.Polya」の「How to solve it」の中から -- The teacher should help, but not too much and not too little, so that the student shall have a <i>reasonable share of the work.</i> - 日本でも，こういう言い方がある -- 「一番おいしいところは，生徒にあげよう」 **2.1 数学で「おいしい」ところ，つまり一番「いい」ところはどういうところだろう。 - 推理小説を紹介するとき，「犯人はこいつだ」なんて先回りしたネタばれをしたら，きっと嫌われる。 - みなさんは自分が生徒として，「どう感じますか?」 -- 「証明はまだ言わないでね。少し自分で考えてみるから」とか，言ったことないですか? **2.2 「条件を満たす点」に関して，「中学的向き」というのは，どういうことだろう。 *** 問題例 - 点A,Bがあり，動点Pがある。∠APB=60°になるような点Pの位置をプロットしよう。 |#00020-0602-01| -「機械的な作業としてのプロットをせよ」ということを求めているわけではないですよね。 -4人1組での作業として，協力しながら作業をするという意味もあります。 -「数学的な活動」としては，「どういう活動をすること」が内在していますか? -「そうならない」としたら，先生として，「どういう声かけ，あるいは発問」をすることが想定できますか? **2.3 「教科書等での位置づけ」との関わり - 教科書の流れをそのまま実現できる例もあります。 -- たぶん，この「円周角の定理の逆」は，そういう事例の代表的なものでしょう。 -- そうでないものもあります。その代表的なものが，今回話題にしている，等積変形でしょう。 **2.4 図を工夫してみる -たとえば，ここでは，測定値は整数だけにしています。なぜでしょう。 -たとえば，ここではABの位置に関して，どういう配慮をしているでしょう。 -これは教科書でもそうだと思いますが，「60°」という数値には意味があります。 --たとえば，「50°」としたら，どういう困ったことが起こるのでしょう。 --ということは，代わりの値として，代わりの図として，どういう候補が考えられますか? **2.5 問いを工夫してみる。 -たとえば，川端さんの事例では，「解説」だったので，「問い」ではないですね。 -「問い」にするとしたら，どういう問いがありうるでしょうね。 -- 「円周角の定理」と「円に内接する四角形の定理」と，「接弦定理の関係」を説明せよ。 - たぶん，この問いは，あまりよくありません。 -- この関係性をもつ「三つ」は，むしろ生徒の側で発見してほしいものではないでしょうか。 - 「問題文」というよりも，「問題状況」と考え，そこから「なにか変だ」と感じ，そこから次第に定式化していくプロセスに注目してもいいのかもしれません。 -- そういうのを「今」思いつくのはむずかしいかもしれないけど，「数学好きの大学生としてのみなさん」なら，きっと「自分が生徒として取り組むなら，どういうのが適切と感じるか」という観点で考えると，きっといろいろなことを思いつくのではないでしょうか。 *** 例 |#00021-0602-02| -この図を使って，円周角の定理を説明せよ。 --たとえば，円周角の定理はABの上側という限定があることを発表したとしたら，「なんか，この定理変わっているよね」あたりから始まって，「下のときはだめなの?」みたいな投げかけをする手もあるかもしれない。 |#00022-0602-03| -この図の中の点Qを動かして，気づくことを延べよ。 --なぜ，「測定」をしているのでしょう。 |#00023-0602-04| -この図はどういう工夫をしているのでしょう。 |#00024-0602-05| -昔，ある先生は，「Qを動かしてもいつも等しいままの角を見つけろ」という発問をしていました。 --その授業では，うまくいかなかったけど，意図はよくわかりました。どういう意図でしょう。 **2.6 こんな工夫も -次の二つの図を比較してみよう。 -どういう工夫を感じますか? |#00025-0602-06|#00026-0602-07|#00027-0602-08| *3. みなさんが提出した素材から **3.1 荒山くん --2直線に接する円の対してもう一つ接線を動かしてみる(昔の飯島先生監修の研究会より引用） --@http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/article/99-01.htm,http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/article/99-01.htm -「図」と「発問」と「活動」あるいは「解決」を明確にしてみよう。 **3.2 山川さん -三角形の辺の和が最小になる場合を考える。<br>点Oから伸びる半直線OA,OBがあり、その間に点Cがある。<br>この時OA,OB上にそれぞれ点D,Eを取って三角形CDEを作って辺の和を最小にするような点D,Eを探す。 -問題文そのものがまだしっかりしていない。「三角形の辺の和が最小」というのは，暗黙の条件があるはず。 -最初に提示する図と，その後生徒に活動させるための図が違ってくるということなのかな。 -今のままだと，「解説」になりそう。 **3.3 濱島くん -円に内接する四角形と外接する四角形について、四角形の点を動かしたときの内接四角形と外接四角形の関係性を考える。 -@https://www.geogebra.org/m/XA7wm6PD#material/AvmwMY6w,https://www.geogebra.org/m/XA7wm6PD#material/AvmwMY6w -この結果を解説するのか，発見させるのか。発見させるとしたら，どういう流れを想定するのか。 -また，図があると，問題文は明らかに思えてしまうけど，「きちんと文章化する」とどうなるだろう。 **3.4 齊藤 さん -正方形の紙から取り出せる最大の正三角形(正方形以外の正n角形でも試してみたい) --出典: http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/article/99-01.htm -三角形の場合をきちんと取り組んでみると，一般化できそうかどうかもわかるのでは。 -以下はGCを用いて探究するにはどうしようか迷った話題です。 --三角形の内接円と外接円における半径の関係性 -「探究してみる」といいんじゃないかな。この形での関係があるとしたら，二つの半径R,rの間に関係があるということだよね。「ない」可能性もあるよね。「ない」としたら，どういう場合なんだろう。 **3.5 水野くん -問題文：向かい合う2組の三角形の面積の和が等しくなるように四角形を分割する。 --出典：http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/article/99-01.htm -この問題は，自分なりに考えて解決してみましたか? **3.6 村井くん -円に内接する△ABCとその内心I,重心Gがある。点Aを円上を動かすとき, 内心と重心の軌跡はどうなるか。 -出典：http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/gc_rc/problems_index.htm -この問題は，自分なりに考えて解決してみましたか? -どうして「円に内接する」なんてなっているのか，考えましたか? **3.7 村井くん -三角形の一つの頂点のみを動かしてできる、内心の軌跡（領域） --GCを使って試すと、自由に動くと思っていた内心が、一定のところ以上に動くことがなかった。実際は、動かさなかった二点を長軸とするような楕円状の領域が描かれた。他の五心についても試す価値があると思った。 -「自分なりにきちんと探究してみた」ことがわかる記述ですよね。すばらしい。 -ただし，「楕円になる」のでしょうか。 **3.8 川端さん -過去の教科書の図から -これは，まなびネットを参照していただきましょう。 --上記でふれています。 **3.9 井上くん -オイラー線と内心の関係について --オイラー線上に内心がある時はどんな図形の時か、また内心はどのような動きを取るか。 --出典, https://manab-juku.me/math/five-centroids/ -自分なりに取り組んでみましたか? **3.10 石倉くん -長方形の周の長さが一定のとき、面積が最大になるのはどのような場合か。 -GCでは紙に比べて簡単に面積を測定できることが面白いと思って、以前の課題で、週の長さが一定の三角形の面積の問題を考えたが、自分ではGCで再現するのが難しそうだったため、再現方法をすぐ思いついた長方形にしようと思った。 -たぶん，「周の長さが一定の長方形の集合」を考えるのは，小中学校の教科書でも意図している問題だよね。 -そこには，面積は，周の長さとはちがう(そういう誤理解が多い)ことを意識化させる問題です。 -でも，その答えは簡単だよね。 -三角形の場合も，答えは想像つきますよね。 -実験はきっと簡単に結果がわかるけど，数学的な証明はどうするといいだろう。 **3.11 櫻木 さん -直角二等辺三角形ABCの直角の頂点Aを通る直線に頂点B、Cからそれぞれ垂線BD、CEを引いた場合の点D、Eの集合はどういったものになるか。 -https://www.jstage.jst.go.jp/article/jasme/26/2/26_59/_pdf/-char/ja -これは，教科書にも掲載されている問題です。扱いやすいと思います。 -JSTAGEを参考にするのも，いい試みだと思います。 **3.12 古川くん -垂心と外心の対称性<BR>△ABCの垂心を点Hとする。△ABCの外接円と△HBCの外接円がBCで対称になることの証明。△HBC≡△H'BCを示す。 -出典：https://www.geogebra.org/m/g4abxv27 -出典では，「これは一つの話題」で，それをもとに発展させたい様子ですが。 **3.13 大内くん -トレミーの定理(最終的には証明)<BR>正方形や長方形に関しては三平方の定理が使えるので中3の応用として扱いたい。証明に関しては相似の考え方を用いるので総復習として扱えると思った。 -出典https://manabitimes.jp/math/581 -トレミーの定理を扱う学生は，ときどきいます。 -決して悪くはないんだけど，扱い方はちょっと限定されるのが，授業化としてはもったいないところかも。 **3.14 橋本くん -自作:角BAC×2＝角BDCとなるような点Aはどのような軌跡を描くのか？ -円周角の定理を軌跡を用いて確かめてみるのも、GCならではの問題なのかなと思いました。 -http://yiijima.sakura.ne.jp/GCs/aue-2023c2a/gchtml/gc_00011-2210640.htm -「距離の場合にはアポロニウスの円になったのだから，角の方でもとチャレンジしてみるのは，探究という視点では「いい」ことですよね。 -そして，GCなど，ICTを使うと，その思いつきが「取り組む価値がありそうか，それともむずかしそうか」を判定してくれるわけです。 -今回はどうでしたか? **3.15 平野くん -三角形の外心の軌跡 --これでは，問題文になっていません。 --ちゃんと自分なりに「探究してみましたか?」 -上記の訂正：三角形の重心の軌跡 --これもいっしょ **3.16 野田さん -三角形の五心をかく問題。さらに四角形、五角形などでもできる円はあるのか、三角形でしか成り立たないものは何なのか、それはなぜ三角形でしか成り立たないのか考える。 -三角形の内心・外心はよく問題として見かけるが、ほかの五心はあまり触れられてない印象が多いので実際に自分でやってみる活動があるといいと思った。 -また、紙でやろうとすると複雑になってよくわからなくなると思ったのでGCの方が向いているかなと思った。 -問題を「分割する」といいと思います。つまり -- 四角形の外心というのは「ある」のだろうか。 --- これは二つの意味がある。 --- 任意の四角形の外心があるとしたら，それはどういうものなのか。 --- 「任意の四角形」にはないとしたら，「特定の四角形にはある」のか，そもとも，「どんな四角形に対してもない」のか。 --というのを，それぞれの5心について考えてみるという意味です。 --実際に授業化を考えるなら，その中の適切な一つに焦点化する方が現実的ですね。 **3.17 川尻くん -辺PA、辺PB、辺PCがある。この時、点Pを動かしてPA+PB+PCを最小にせよ。 -出典：http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/gc_rc/problems_index.htm -理由：辺のみで構成されたものであるが、どうすれば最小になるかを実験していくうちにそれを満たすための図形が浮かび上がることが予想され、子どもたちがどうすればいいかの導入もしやすいと感じたため -自分なりに取り組んでみましたか。 -過去に，私は春日井高校で授業をして，うまくいきませんでした。 -それをかなりアレンジした形で，宮崎県内の中学校で取り組んでくれました。 -授業としては，成立したけど，かなり誘導した形になったかな。 **3.18 大村くん -2点からの距離の和が一定になる点の軌跡 -2点からの距離の差が一定になる点の軌跡 --今回の授業で放物線について扱ったので、同じ二次曲線の例として楕円と双曲線は良いのではないかと思いました。 -ご指摘のとおり，放物線の「類題」としては，いい素材ですよね。 -それを「どういう図で扱うのか」など、いろいろな工夫の仕方がある素材です。 **3.19 西川くん -点F（2,0）からの距離と直線ｘ＝1/2からの距離が2:1となる点Pの軌道を求めよ。 --これは計算をしてみると双曲線が出来ることが分かる。距離の比を変化させることで、楕円や放物線にもなる。 --https://hatsudy.com/jp/eccentricity.html -「軌道」とはいいません。 -また，焦点と準線の関わりで二次曲線を扱うのは，焦点二つとは別の方法で，離心率といいます。 -どうなんだろう。この路線って，いい形で深めること，できるのかな。 *4. 課題 -4.1 今日の授業の感想 --いつものに加えて，「今日の参加方法」 -4.2「GCで探究する価値がありそうな問題」(新しいものをもう一つ) -- 今回同様に，問題文のみでよい。 --ただし「どこかから拾ってくればいい」のではなく，「どういうところに魅力を感じたか」が語れるようなことを求めています。 -4.3「今回の問題」に関して ---もし6/2までに提出した図では下記のことに取り組みにくいなら，上記のものについて取り組んでもよい。 --(1)「自分の問題に対応する図」を作図し，オンライン保存する。 --(2) まなびネットでの課題「自分の問題文と図について」に関して，次のことをまとめる。 --- 問題文 --- 図(リンクをはる) --- 想定する生徒の活動の概要 --- 作図や問題文などに関して困っていること(あれば)) --- 生徒の活動に関して困っていること(あれば) -4.4 「CIIの教科書」の5.3 「円周角の定理」に関連して --今日も扱った円周角の定理についての工夫の仕方がいろいろと書いてあります。 --あなたにとって，一番「なるほど」と思った点はどういう点ですか。 --あるいは，「私なら，こういう工夫をしたい」ということや，「この工夫は，こういう点であまりよくないと思う」ということでもよいです。 --- 同様の，あるいはもっといい工夫をしていただくために，検討していただく課題です。 --- 従来なら，授業ビデオをみて，それについて分析したり検討することを課題にしていますが，こういう「意図を明確に書いてあるものについて検討する」方がやりやすいのではないかと思い，形を変えてみています。 --- もし，「授業ビデオの分析等の方がいい」とお感じであれば，そういうことも書いてみてください。 *5.備考 -次第に，「自分が扱おうとする素材」に関して，教材研究等を深めていくことを中心にしていきます。 -一つだけに限定するのでなく，「教材化可能な範囲を広げる」ことも想定したいので，「ちがう問題例」を探すことも求めていくでしょう。 -中心的に取り組む素材は，「なんかうまくいかない」と思ったらいつでも他のものに切り換えて，かまいません。 -「うまく扱えそうかどうか」が心配な場合は，いつでも相談してください。 -逆に --それなりに課題を継続的に取り組んでいかないと，この授業は単位取得はむずかしいと思います。 --後輩に迷惑をかけないようにしてください。