*0.はじめに **0.1 そろそろ「終着点からの逆算」が必要です。 ***0.1.1 授業は残り... - 7/14 (今日) - 7/21 - 7/28 - 8/4(テスト相当日) *1.素材は明確ですか? / 適切な形に工夫できていますか? **1.1 見つかっている? -壁谷くん -横地さん -杉原くん -疋田くん -小澤くん --まさか，回転体のままじゃないよね。 **0.2 扱う素材は明確になっていますか? -荒川くん -- 円周とか，クギとかあったけど -伊藤さん -- 「問い」の形になっていますか? -久米くん -- 「問い」は斬新だけど，何がねらいで，解決のストーリーはできていますか? -中村さん -- 円に内接する四角形? -- それとも，モーレーの定理? -- 二つの間の「違い」があまりに大きい。 **0.3 明確でなかったら，「きめる」べきです。 -困っていたら，「相談しなければいけません」 --コロナ前の常であれば，「教科書から探せ」などの指示をします。 --興味・関心等に合わせて，指示したりします。 **0.4 工夫しないと無理なことも，もちろんあります。 - うまくいきそうかどうかの「吟味」を，自分だけでなく，仲間とワイワイすることは大切です。 - もちろん，「質問」してくれるのは歓迎です。 *1.素材の検討 -希望者がいたら，まず優先的に扱います。 **1.1 「最短問題」 - 今回，いくつか最短問題があります。 - 「測定」等で，最小値等を観察で発見するのは，きっとそれなりにうまくいくでしょう。 - 「証明の論理」をどの程度明確に用意しているのかが，「心配」の所在でもあり，「解決」のための所在でもあります。 *** 1.1.1 微分 -高校的なアプローチとして，微分して答えを求めることを想定するのも，一つの方法です。 *** 1.1.2 平方完成など -数Iでの解決であれば，平方完成等を行って式変形で証明するというのも，アリだと思います。 *** 1.1.3 入射角と反射角 -これがひとしければ，「最小」等になるかというと，たぶん無理です。 -前回示したように，それは「緩い意味での極大」を示すことしかできませんし，その根拠は，明示されていなまま使うことになってしまうと思います。 *** 1.1.4 「2点間の距離」に帰着させるなら，中1の論理で解決 -上記に関連しますけど，「2点間の距離」の問題に帰着させることが，一つの常套手段です。 -そして，その方法であれば，中1の論理で扱うことができます。 **1.2 最大・最小問題 - 上記は最短経路でしたが，面積最大なども含めて，最大・最小問題に関しても，上記と似たことが言えます。 *** 1.2.1 構成的方法 - 一定の手数を踏むことで，答えを構成することができる場合もあります。 - 「作図問題」のような感覚でいえば，有限の手続きをへることで「構成できる」ことを示すことを求めることは代表的でしょう。 - 逆に，それができない場合には，別の工夫をしないといけません。 *** 1.2.2 微分 - 変数を使って関数として表示できるなら，微分できる可能性は高いです。 *** 1.2.3 背理法 - 「これではだめだ」と，背理法を使う手もないわけではないですけど....q ** 1.3 プロット - プロットする目的は何でしょう。 - 厳密とは言えない方法で，それらしいところをプロットして結果を得て，「それでおしまい」では授業にはなりません。 - その次に「数学的な活動」をするはずです。 *** 1.3.1 「式」化 - 候補となる対象(直線や円など)を想定し，そうであることを「証明する」のは一つのやり方です。 ***1.3.2 「証明」 -円周角の定理などを使って「証明する」のも，一つの方法です。 ***1.3.3 一般化などを「見せる」ということもあってもいいけど．．． -ある方法で得られる結果を，「一般化可能」であることを，示すというようなことも，ないとはいいきれませんけど，.....あまりおすすめもしないかな。 ** 1.4 幾何の定理の証明 - 「発見」だけなら，たぶん，できるでしょう。 - モーレーの定理なんか，ぜひ，「鑑賞させたい」定理です。 - 鑑賞だけって，割り切るのも一つの手ではあるけれど，その場合には，「いろいろなものを鑑賞することで学ぶべきこと」を確立しないと，「みるだけ」にしかなりません。 *** 1.4.1 「丸投げで証明できそうなもの」なら，そのまま「やれ」という手もある。 - *** 1.4.2 証明を「発見する瞬間」のようなところを，いい形で，生徒に委ねたい。 - *** 1.4.3 「特殊な場合」をうまくいかせることもある - *** 1.4.4 発展的な定理は，「証明の構造」を読み取ることが不可欠。 - それをそれなりに授業の中に組み込んでいくことが大切。 *** 1.4.5 「特殊解」をうまくいかすことで，「一般解」につなげていくような論理もある。 - たとえば，Euler線の証明など **1.5 「教えてしまう」ことと「生徒に委ねる」こと - 「後藤実践」では，1直線にタッチする最短経路の問題の解決方法は，教えてしまいました。 - その代わり，2直線にタッチする問題を，生徒が取り組むべき問題として位置づけました。 - ちょっと発展的な問題の場合には，それも一つの方法です。 - あるいは，2時間構成のような形で，最初の時間に発見したことをまとめておき，それをさらに発展させていくというような方法もありえます。 - そういう場合，2時間目だけの指導案をつくるのでもいいし，2時間構成でつくるのでもかまいません。 **1.6 振り返ってみると「あ，そういうことなのね」 - コンバージョンゴールのような問題は，実はいろいろなアプローチがあります。 - 前回話題にしたような，方ベキの定理もあります。 - 三平方の定理とか，平方完成もありえます。 - その他に，高校らしい話題としての，相加平均・相乗平均もあります。 - そういうのが登場してきて，「なるほど，ここにあったのね」というのも，数学の授業らしい「おとしどころ」なわけです。 **1.7 「たくさんある場合わけ」のようなもの - 「すべてを発見するのが意味がある」ということもあります。 - 「他にないかな」と，探すことの意味があって，全部でなくてもいいという割り切りもありえます。 - そうなってくると，「何に価値があると考えるのか」が重要なわけで， - 無定義用語のようなものだけど，「数学的活動」として，どういうものを想定しているのかが，問われるわけですよ。 **1.8 「一人」それとも「グループ」そして，それを「全体」との関わりではどう設計していく? - 問題の提示や，解決の発表のようなところで，「全体」は不可欠です。 - その後の活動は，「一人」が主軸なのか，「グループ」を使うのかは，検討してください。 - グループの場合は，「どういう課題がいいのか」がまず問題です。 - グループの中では，何をするのだろうということも，検討してください。 - そこで発見したことなどは，全体の場で発表・共有・吟味等をしたいはずですよね。 **1.9 「図」や「問題文」は，わかるように，指導案の中に入れておく。 - 指導案は，「みなさんが授業をするための準備をするための資料」です。 - 同時に，「誰かがみて，授業の様子を理解するための資料」です。 - 図はなるべく豊富に入れましょう。 - 動かして，いろいろな場合を見つけるはずであれば，その「いろいろな場合」が一通りわかるようにしておくのが基本です。 **1.10 「想定する生徒像」は，みなさんに都合のいい生徒を想定もかまわない。 -本物の授業は，もちろん，「現実に参加する生徒」を対象にするので，生徒のことをきちんと把握しておかないと，授業設計など，できません。 -ただ，「高校」と一言でいっても，いろいろな学校があるように，また，中学校だって，公立校もあれば，附属学校もあるように，ある程度，自分が想定するような生徒が集まっている架空の集団の存在を前提にしてしまってかまいません。 -「こういう生徒がもしいるとしたら，こういう授業ができるはず」というストーリーを明確化する練習と思ってくれればいいです。 *2.今後の見通し **2.1 「指導案の試作と提出」はいつごろがいいだろう。 -これまで，3名くらいの方が，指導案を試作して提出してくれました。 -「修正」はほぼ確実に必要です。 **2.2 今後は，「指導案を元に，授業の中心部分を模擬授業的にちょっとやってみて，みんなぎ検討」が主軸になる。 -これまでも，似たような形で取り組んでみましたけど。 -できたら，「それを全員クリアして，指導案を再提出して....」といきたい。 **2.3 次回に向けて，できたら，水曜夕方までにはメールで提出してください。 *3. 課題 -3.1 今日の授業の感想(まなびネット) -3.2 「指導案作成」等を継続してください。 -- 出来上がったら，水曜日夕方までにメール添付で提出してください。 -3.3 問題等を変更し，アドバイスがほしいなと思う方は，まなびネット上に