作図の手引き(Geometric Constructorマニュアル Vol.2):飯島康之
[「作図の手引き」目次]
５．軌跡による図形の描画
5.1 数学での「軌跡」とGeometric Constructor での軌跡
もともと，数学的には，「軌跡」というのは，次の二つの側面を持っている。
(1) 点の動きの跡
(2) 条件を満たす点の集合
そして，多くの場合，これらが直線や曲線，いわば１次元多様体をなす場合「のみ」を
軌跡と表現するのが伝統的である。
しかし，たとえばGeometric Constructor で扱う場合には，「結果」によって，それを
「軌跡」として見なすかどうかを判定することはできない。そのため，機能としては，上
記の二つに対応して，
(GC1) 幾何的対象の動きの跡としての「軌跡」
(GC2) 条件を満たす点の集合としての「軌跡」
という二つを持っている。
この中の前者について，この章で扱う。後者については○章で扱う。
5.2 最も簡単な使い方
Geometric Constructor における軌跡の利用において，まず基本的なのは，
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜ ・軌跡の設定を行う ｜
｜ ・Ｆ９キーによるＯＮ／ＯＦＦ ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
の二つの仕事が必要だということである。前者の軌跡の設定は，ファイルの中に保存され
るため，一番やさしい軌跡の使い方は，
・ファイルを読み込む（たとえば，「外心」を読み込む）
（これをそのまま変形しても，軌跡は残らない。）
・Ｆ９キーを押すことによって，左下に「軌」のマークを表示する。
・そして変形する。
である。
なお，軌跡はメモリを消費する。特に，98などで，日本語を使用しているような場合は
顕著だ。適当なところで，軌跡を消去しよう。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜ シフト＋Ｆ９ で軌跡の消去 ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.1 外心の軌跡 図−5.1 シフト＋Ｆ９で消去
5.3 設定の方法
前述の図形は，事前に設定してあったから，変形するだけで軌跡が残った。しかし，一
般には，自分で軌跡を設定する必要がある。重心の軌跡を設定してみよう。
(1) 「重心.000」のファイルを読み込む。
(2) 「軌跡の設定」を選ぶ。
(3) 「点」を選ぶ。
(4) 「点Ｄ」を選ぶ。
(5) 色として「赤」を指定する。
(6) Esc を何回か押し，標準メニューに戻る。
(7) 「軌」のマークを確認し，必要があれば，Ｆ９キーを押す。
(8) 変形してみる。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.3 軌跡の設定 図−5.4 「点」を選択
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.5 点の選択 図−5.6 色を選択
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
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｜ ｜ ｜
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＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.7 次の点の設定 (終了ならEsc) 図−5.8 軌跡の様子
5.4 練習問題
軌跡は意外性があって面白いものがいろいろありうる。
解説するよりも，自分で取り組んでみた方が面白いはずなので，練習問題として，いく
つかをここで挙げておくことにする。なお，軌跡全般となるとあまりに多くなってしまう
ので，ここでは，「５心」の軌跡に関する話題をいくつかまとめておくこととする。右側
は「スケッチ」用のスペースとして，空白をそのまま置いておこう。
(1) 点Ａを自由に動かしてみよう。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜ ｜ ｜
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＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.9 外心 スケッチ
(2) 点Ａを水平に動かしてみよう。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜ ｜ ｜
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＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.10垂心 スケッチ
(3) 点Ａを水平に動かしてみよう。 (楕円ではない)
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
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＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.10内心 スケッチ
(4) 点Ａを円上に動かしてみよう。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
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＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.11内心 スケッチ
(5) 点Ａを円上に動かしてみよう。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
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＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.11内心傍心 スケッチ
(6) 点Ａを円上に動かしてみよう。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
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＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.11内心傍心 スケッチ
5.5 直線等の掃過領域がなす図形
上記では，基本的に「点」の軌跡を考えたが，線や円の「軌跡」が一つの図形を形成す
ることもよくある。ここでは，それを「掃過領域」という言葉で表現する。
手続きは，「点」の場合の軌跡と同じである。例によって，考えてみよう。
(1) 垂直２等分線の軌跡(1)
たとえば，点ＡＢの垂直２等分線があるとき，点Ａを直線上を動かすことを考えてみよ
う。すると，次のようになる。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
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｜ ｜ ｜
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｜ ｜ ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.12垂直二等分線 図−5.13 軌跡
(2) 垂直２等分線の軌跡(2)
直線上でなく，円上を動くように変えてみよう。すると，次のようになる。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
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｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
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｜ ｜ ｜
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｜ ｜ ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.14垂直二等分線 図−5.15 軌跡
(3) ２点を通る円の軌跡
これはむしろ，中学校の教科書にある図の説明ということになるかもしれないが，典型
的な例と言えると思うので，挙げておく。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
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＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.16２点を通る２円 図−5.17 軌跡
(4) ２辺に接する円の軌跡
これも同様の図である。上記が外心の説明であるのに対して，こちらは内心の説明の図
である。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
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＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
図−5.17２辺に接する円 図−5.18 軌跡
他にも，様々な例を作ることが可能だが，ここでは，この程度としておく。
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