作図の手引き(Geometric Constructorマニュアル Vol.2):飯島康之
[「作図の手引き」目次]

７．条件を満たす軌跡による図形の描画

7.1 例

「条件を満たす集合」というのは，たとえば次のようなものを指す。
(1) 二点Ａ，Ｂから等距離にある点の集合　→　ＡＢの垂直二等分線
(2) 一点Ａから等距離にある点の集合　　　→　Ａを中心とする円
(3) ∠ＡＰＢ＝一定となるＰの集合　　　　→　ＡＢを弦とする円
(4) ＡＰ＋ＢＰ＝一定となるＰの集合　　　→　Ａ，Ｂを焦点とする楕円
(5) ＡＰ−ＢＰ＝一定となるＰの集合　　　→　Ａ，Ｂを焦点とする双曲線の一葉

7.2 ＯＨＰシート作戦

　これらについて，Geometric Constructor などで調べる場合，特に変わった機能を使わ なくても調べることはできる。一つの発想としては，

すべてをソフトに頼るな

ということが挙げられる。たとえば，測定機能はソフトの内部にありますが，

ディスプレィ上の図を定規で測って何が悪い

とも言える。もちろん，ディスプレィ上の図は多少歪んでいたりする可能性はあるわけで ，ある意味ではナンセンスですが，私達の目的が「ＣＡＤを使った製図」のようなもので はなく，「図形の問題について考えるという数学的探究」であることを考えると，

簡単な方法でとりあえずアバウトな結果を得て，概要を知る

というのは，目的に合わせて考えてみると，妥当である。それは一般に，ツール型のソフ トの利用全般についても一般化可能なことであり，つまり，

機能に関する学習は最低限にしたい
考える場面や作業内容として生徒にあったものを確保したい

ことが，授業で使うときには一つの原則となる。

　話を元に戻すと，条件を満たす点の集合を調べるためには，

＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　条件を満たす点の位置を画面上に「プロット」してしまえ　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
というのが，一つの手となる。しかし，ディスプレィにマジックや鉛筆で書かれたらたま らない。だから，
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　ディスプレィにＯＨＰシートを張りつけ，そこに書き込め　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
というのが，一つの手となる。この手は，教育的には別の効果がある。つまり， 
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　重ねてＯＨＰで提示すると，何人分もの結果を「集約」することができる　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
ということだ。 
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　一人で調べるのは大変だけど，みんなの結果を集めたら，ここまで分かる　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
という「演出」ができるという意味でも，ＯＨＰシート「作戦」と呼ぶに値する。（この 方法は，川崎市内で開発・洗練された。）

7.3 「一人」でするにはたまらない

しかし，この手は「授業向き」であっても，自分で調べるための方法としては，かなり 無理がある。特に教材研究等をする場合には，とりあえず，いろいろな可能性について調 べ, その中から選択するわけで，一つの問題に対する概略的な結果は，

あまり考えなくても，作業が進められる

のでないと，疲れてしまう。それを実現するための機能として，Geometric Constructor での「条件を満たす点の集合」がある。

7.4 アイデアとしての「領域の境界」

この機能を理解する上で，補足になると思うので，追加するが，ＯＨＰ作戦の場合でも ，たとえば，

「∠ＡＰＢ＝６０°となるときに点を取れ」

と言うと，ほとんど点を取ることができない。特に，測定の桁を小数点以下２位くらいま で表示していたら，生徒はそれにこだわって，「６０．０１°でもだめじゃないか」と思 う。
　川崎で議論していたときに，こういうアイデアが出た。

「６０°以上のときに青い○。以下の時に赤い○を書かせよう」
（授業のときに実際に扱ったのは，別の事例）

これは二つの意味で面白いアイデアでした。

(1) ６０°の場合が，「青と赤の境界」として現れる
(2) 調べた結果, 60°より大きいところ，小さいところの結果も，書き込まれる
   (そうでないと，「調べていない」のと区別がつかない)
   (また，生徒が書き込める回数も増える)

7.5 Geometric Constructor における「条件を満たす点の集合」の機能

Geometric Constructor での機能は，上記の作業を部分的に自動化したものである。基 本的には，

ある変数の符号の変化に応じて，動かしている点の軌跡を変える

というものである。
そのため，∠ＡＰＢ＝６０となる場合を調べるには，数式機能を使って，

「∠ＡＰＢ−６０」

について調べることになる。
　調べる手順は，次のようになる。

(1) 作図する。
(2) 測定する。必要があれば，数式を作り，その符号で判定可能にしておく。
(3) 「軌跡の設定」で「変数」を選択し，(2) の変数を選択する。
(4) Ｆ９のスイッチを確認。
(5) 変形してみる。
このとき，キーボードを使った場合には，等間隔に記号が並ぶが，マウスの場合には， もっと細かく調べたり，概略を調べられる反面，あまり綺麗にはならない。
また，描画の最中に，画面が汚くなるが，Esc キーを押すと，描き直すので，あまり気 にしないで，まずは変形をしよう。
この機能を使う場合も，メモリに対する配慮は必要なので，「画面全体を調べよう」と いうようなことはやめ，大体調べたいところが分かったら，「シフト＋Ｆ９」でクリアし よう。
　また，９８，ＦＭの場合には，Ｆ７キーで画面をフロッピィ等に保管し，あとでまとめ てハードコピーを取ることなどができる。

7.6 ケーススタディ −円周角の場合−

(1) ∠ＡＰＢ＝６０°となるところを探そう
　まずは，「６０°」の場合を，マウスを動かしながら，探してみよう。
　さて，どの程度大変なことだろうか。あるいはどの程度簡単なことだろうか。
　そして，たとえば１０分という作業時間の中で，どの程度のことができるだろう。
  （そういう「体験」をまずしておかないと，授業化は難しい)

(2) 桁数を変えてみる

  あまり本質的なことではないが，必要に応じて，桁数を変えることもできる。
  「オプション」→「桁数の設定」
で，たとえば，「0 」を設定してみよう。あるいは，「20」にしてみよう。

(3) 「条件を満たす点の集合」を調べてみる
６０°にしてもいいのだが，「この角と等しい」という対象が見える方がいいので，

「∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＢ」

つまり，

「∠ＡＰＢ−∠ＡＱＢ＝０」

となる場合を調べてみよう。
ここでは，キーボードを使った方がいい。

＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
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＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋

7.7 練習問題 

　次の条件を満たす点の集合を，求めてみよう。
(1) 二点Ａ，Ｂから等距離にある点の集合
(2) 一点Ａから等距離にある点の集合
(3) ＡＰ＋ＢＰ＝一定となるＰの集合
(4) ＡＰ−ＢＰ＝一定となるＰの集合
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