4角角2分

くさび形(やちょうちょ形)のときには,変な図になってしまう

この図の違和感には,いくつかの意味がある。

現象	対処	付記
GCでは角の二等分線が劣角の側に描かれるので,180°を越えると,思っている方向とは逆側に半直線が引かれてしまう	「編集」機能で「半直線」の向きを変えるあるいは,「直線」にしてしまうと思い通りの図になる。	作図ツールの種類によっては,このような現象は起きない。つまり,∠ABCの二等分線と言えば,向きを持った角としての∠ABCを二等分する半直線を描く。
「交点」はその半直線とは違う側に作られる。		作図ツールによっては,「半直線上」で交わらないと交点として処理しないものもある。
できるのが四角形ではなくなってしまう。	新たな発見になるとも言える	作図ツールによっては,上記のような特徴から,EFGHが「できない」こともある。

中が特殊(一点)になってしまうのは,どういうときだろう

• 点Aなどを動かしてみて,交点が一点になるような場合を探す
• 三角形の場合を想定し,「いつでも一点で交わる」ことと比較する
• 5,6,...n角形について一般化してみる
• 角の二等分線は二つの辺から等しい距離にある点の集合であることを意識化する
• 角の二等分線上からは,二つの辺に接する円を作図可能であることを意識化する

できる四角形の種類が少ない(たとえば,平行四辺形,ひし形,台形などは本当にできないのか?)

• ここからの突破口は,結果がはっきりしているものの中で最も一般的な「台形→円に内接する四角形(特に90°が二つ)」を一般化してみるということだろう。
• 飯島は,これを参考にして,「四角形の外接円」を追加してみて,台形を一般化するときに,外接するという条件がどこでブレークするかを観察しようと思ってみた。そして,任意の四角形で外接円が描けてしまうことを発見し,驚いた。
• 他にも,別のアプローチからこの結果を発見することはできるだろう。
• いずれにしても,EFGHは円に内接する四角形であることが分かると,対角の和が180°であることから,次のことが分かる。

  平行四辺形	→	長方形
  ひし形	→	正方形
  台形	→	等脚台形
  ちょうちょ形	→	円に内接する(円周角により,二組の角が等しくなる)

対応表の精緻化

もっと詳しくすることができるかもしれません。

ABCDの形	EFGHの形
正方形	一点
長方形	正方形
菱形	一点
平行四辺形	長方形
台形	対角が90°の四角形
たこ形	等脚台形
等脚台形	たこ形
凸四角形	円に内接する四角形
くさび形,ちょうちょ形	円に内接するちょうちょ形

EFGHの形	ABCDの例
正方形	長方形
長方形	平行四辺形
菱形	ない
平行四辺形	ない
等脚台形	ある
たこ形	等脚台形
等脚台形	たこ形
凸四角形	凸四角形
くさび形	ない
円に内接するちょうちょ形	くさび形など
一点	円に外接する四角形