4角角2分

一点で交わるように点 A を動かしたときの軌跡はどんな曲線か

愛知教育大学　数学教室

飯島康之

問題状況




四角形ＡＢＣＤの４つの角の二等分線を引き,それらの交点をそれぞれ Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈとする。
四角形EFGHが一点となってしまうように, 点A を動かす。そのときの点 A の軌跡はどんな曲線か。

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  • 「1点で交わる」ということは ABCD はどんな四角形か

    • このような ABCD は,次のような特徴を持っている。

    この図には,次のような特徴があるので,

    測定したらこういう特徴がある。(この図では微妙な違いがあるが)

  • AB + CD = BC + DA を前提にするとどうなるか

    • 上記の AB + CD = BC + DA を前提にすると

    AB = DA + (BC - CD) = AD + (const.)

    　あるいは,

    AB - AD = BC - CD = (const.)

    つまり, B, D からの距離の差が一定(BC - CD)であればいい。
    これは,こちらにも記述がある例だが,
    今回の例に沿って,条件を満たす点 A の位置を正確に求められるような作図をすると,次のようになる。

    これで軌跡を残すと,次のようになる。

    図を縮小してその回りでの様子を観察すると,次のようになる。

    というわけで,この曲線は双曲線の片側になる。