複素数:写像の観点からの考察(1)

平面から平面への写像としての複素数の演算

複素数は平面だ。平面上の点に対して,平面上の点を対応させるきまりがあれば,平面内の図形,平面全体などがどのように写るかを調べてみるということは,「写像」としての性質を調べてみることになる。

四則演算について調べてみよう

複素数に関して,様々なものを写像の観点で調べることができるが,まず最初の出発点は四則演算であろう。なお,「差」に関しては「a - b 」は「a + (-b)」と考えられるので,「和」の一部として考えればよい。また「商」に関しては,「a/b」は「a * (1/b)」と考えられることと,GCでは「逆数(1/z)」があるので,「逆数」を考えればよいだろう。そういう意味で,最初の演算は,「和」,「積」,「逆数」とする。

調べてみる対象

基本的な図形として,次のものを取り上げてみる。

GC/Win 1.3.0 以降の「シフト + 変形機能」は便利

これまでも「編集」機能の中で,直線や円の上に,点の動きを制限することはできた。しかし,多角形などはその設定を変更しながら行なうとか,キーボードで縦/横のみの動きなどをするしか手がなかった。
GC/Win 1.3.0 以降では,シフトを押しながら変形をするときのモードとして3種類のものを用意した。そのデフォルトは,近接の直線/円の上に点の動きを制限するというもので,要するに,三角形の上などに点の動きを制限することができる。
つまり,シフトを押しながら,矢印キーやマウスを押すことによって,上記のような対象の変換の様子を観察することができる。

データと主な結果

和

	データ	結果
直線
直角三角形
円

積

	データ	結果
直線
直角三角形
円

逆数

	データ	結果
直線
直角三角形
円

まとめと次の課題

上記の結果をまとめると,次のようになる。

	変換の特徴	直線	円	直角	比
和	平行移動	直線	円	直角	保たれる
積	拡大+回転	直線	円	直角	保たれる
逆数	?	円	円	直角?	保たれない

• 「逆数」の変換がどういう特徴を持つのか,もっと明らかにする。
• 「逆数」の変換と同じ特徴を持つのはどのような演算の集合かを明らかにする。
• 複素数の別の式はどのような特徴を持つのか明らかにする。