三角形の外心の教材化

赤星たか枝(熊本大学大学院[1996.7.25])


（その1）陣取ごっこ

===== 問題 =====
1　任意の三角形ABC を作ります．
2　各々の頂点A,B,C を中心にして，半径が等しい円を三つ（円A,円B,円C）
   を作ります．（図１参照）

3　円の半径をゼロから大きくしていきます．
4　ここで領域A,B,C を次のように考えます．
　　円A,B,C が重なっていないときは円A,B,C の内部が領域A,B,C となりま
    す．
　　半径を大きくしたとき，円は重なってきます．相手領域に入っても，自
    分の領域にはなりません．（先に取った者勝ち！）（図２参照）
5　境界線はどのようになるでしょう．


===== コメント =====
三角形の外心は三つの頂点からの距離が等しい点ですから，円を使って教材
を作ってみたかったのです．
三つの円が一点で交わることは面白いと思うのですが...



（その２）三角錐の頂点はどこだ

===== 問題 =====
1　任意の三角形を作ります．
2　各々の辺を底辺とし，他辺の長さ a（a は適当） の二等辺三角形を三つ
    作り，三角錐の展開図を作りましょう．（図３参照）
3　それを組み立てて三角錐を作りましょう．（できるかな）
4　さてこの三角錐の頂点はどこにあるでしょう。



===== 4のためのヒント =====
1　三角錐の頂点から底面に向かって垂線をおろしましょう．
2　底面と垂線との交点は一体何でしょう？

===== コメント =====

三角形の外心と三つの頂点を結んで二等辺三角形ができます．この二等辺三角形を元の三角形の外側につくったら... 二等辺三角形の二等辺の長さを変えてみたら... そうして三角錐の展開図を考えました．
飯島先生のアドバイスによって，三角錐の頂点の，元の三角形への垂線の足が外心になっているということにたどり着きました．これはGCを使ってやるよりも，紙とはさみを使ってやるほうがわかりやすいと思います．三次元の図が描けるソフトでも面白いかもしれません．最初は小学生にわかるような教材と思ってつくってみたのですが，外心の拡張としてやったほうがいいような気がします．