三角形の「外心」に関する問題の展開例

０．本稿の目的

　三角形の「外心」についての性質を発見できるような展開例を考える．

１．展開例

　
授業の目的：
三角形の外心が各辺の垂直二等分線の交点であることを確認し，さらに，
その拡張として，外心，三角形の頂点，辺の二等分線から成る図形につ
いて考える．そして，それぞれが，円に内接する四角形，または三角形
になっていることを調べ，それらの外接円が外心で交わっていることを
確認する．
　ここでは，展開例を発問「」に沿って考えてみる．

（１）「直角三角形ABC（∠ACBが直角）において，辺ABを直径とするような円を考
　　えよう．次に，円の中心をOとし，辺AC，BCに中点P，Qを取り，それぞれを
　中心Oと結んでみよう．」


（２）「ここで，四角形が出来ていますね（四角形CPOQ）．これは，どんな四角形で
　　すか？」
　　　　→四角形CPOQは長方形である．ここで線分OP，OQがそれぞれ，辺AC，BC
　　の垂直二等分線になっていることを確認する．

（３）「次に，点Aを動かしてみよう．次に辺ABの中点をとって下さい．これを点Rと
　　　しましょう．」

　ここで，次の二つの場合が考えられる．それは，三角形ABCが鋭角三角形と鈍角三角形
になるという場合である．それぞれについて見ていこう．

  3-1.三角形ABCが鋭角三角形の場合
　　「ここで，中心Oと点Rを結んで線分ORを作ろう．」

　　「この図から，どんなことに気付くだろうか？」→∠ARO，∠CQO，∠CPOが直角
　　「つまり，円の中心Oは，それぞれの三角形の辺の垂直二等分線の交点になってい
　　ますね．」
　　「では，もう少し別のことについて調べてみよう．」
　　「四角形CPOQはどんな四角形になっていますか．」→円に内接する四角形
　　「同様に四角形PARO，四角形RBQOについてはどうでしょう．」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→円に内接する四角形
　　「では，それぞれの四角形に外接する円を書いてみよう．」

　　「どんなこことに気付きましたか？」→三つの円の交点が中心Oと一致する！

  3-2.三角形ABCが鈍角三角形の場合（展開は 3-1. とほぼ同じ）
　　　「ここで，中心Oと点Rを結んで線分ORを作ろう．」

　　「この図から，どんなことに気付くだろうか？」→∠ARO，∠CQO，∠CPOが直角
　　「つまり，円の中心Oは，それぞれの三角形辺の垂直二等分線の交点になっていま
　　すね．」
　　「では，もう少し，別のことについて調べてみよう．」
　　「四角形CPOQはどんな四角形になっていますか．」→円に内接する四角形
　　「三角形AOR，三角形BORはどんな三角形になっているでしょう．」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→円に内接する三角形
　　「では，それぞれの四角形，三角形に内接する円を書いてみましょう．」

　　　「どんなことに気付きましたか？」→三つの円の交点が点Oと一致する！
　　　「では，最初に考えた図ではどうでしょう？それぞれの四角形，三角形に外接す
　　　る円を書いてみましょう．」

　　　　→三つの円は，外接円の中心Oで三つの円が交わっている！

（４）「では，今日のまとめをしましょう．三角形に外接する円のことを外接円といい，
　　　その円の中心を外心といいます．外心は，三角形のそれぞれの辺の垂直二等分線
　　  の交点になっています．今日は，この外心と三角形のそれぞれの頂点を直径とす
　    る円が外心で交わっているということを学習しました．このほか三角形の外心に
      は色々な性質があるかもしれませんね．」

２．まとめ

　本稿では，外心，三角形の頂点，辺の中点とを結んで出来る図形についての展開例を考
えてみました．その性質をまとめると次のようになります．
　内接三角形が，
　　直角三角形の場合
　　外心，三角形の頂点，辺の中点とを結んで出来る図形は，長方形一つ，直角三角形
　二つ
　　鋭角三角形の場合
　　外心，三角形の頂点，辺の中点とを結んで出来る図形は，円に内接する四角形三つ
　　鈍角三角形の場合
　　外心，三角形の頂点，辺の中点とを結んで出来る図形は，円に内接する四角形一つ，
　　直角三角形一つ
　となります．どの場合も円に内接する四角形，または三角形が出来ます．

作者より
　M2の藤田です．浅学な私が作者などともったいぶった言い方でいいのでしょうか？　さ
て，本稿の内容ですが，最初考えていたものがおもしろくない！と言われ，自分が考えて
いたものとはかなり違ったものになってしまいました．この展開では，外心，三角形の頂
点，辺の中点とを結んで出来る図形は，いつも円に内接する図形になっているというとこ
ろが面白いと思いますが．図がないと少しわかりにくいかもしれません．
　今回の集中講義で，GCを初めてまともに使ってみました．今までは，自分のMacでスケ
ッチパッドで色々遊んでおりましたが，今回の集中講義で，それぞれのソフトにそれぞれ
の特徴があるのだなあということを実感しました．（こっち（GC）にはできて，こっち（
スケッチパッド）にはできない，ということあったりしました．勿論逆も．）