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*0.はじめに -「ここに書いた」ことを授業の中ですべて解説するわけではありません。 -「ここにあえて書いていない」こともあります。 -授業は「対面での会話の中で進める」ものです。 -そして，「学び」は，みなさんが個人の中で行うものも含めての「学び」です。 -毎回，「感想」に答えるわけではありませんが，いろいろな形で「生かせれば」と思います。 -さらに深めたいこと，わからないことがあったら，授業の中で質問してくれてもいいし，「まなびネット」やメールで話題にしてくれてもかまいません。 **0.1 先週のビデオのこと -一度観察してみると，いいですよ。特に「前からみえる景色」は，いろいろな情報を知らせてくれます。 -算数・数学って，「考える」ことが中心だし，だからこそ，表情も変わるし，「気づいた瞬間」とかが，大切だったり，「わからない空気感」も，感じられるわけですよね。 -「正解を発表」して，「答え合わせをする」ことだけに，子どもの発表を使うのは，もったいないと思いませんか? **0.2 算数では，「わかった/わからない」のYes/Noがはっきりしているように思えるけど,.... - テストで採点するとき，〇か×かがはっきりしているのが，算数です。 - それは，「いい面」もあります。 - でも，「正解主義」に陥ってしまうと，いつも，「先生がいう通りにできるようになること」が重要になってくるし，「間違っていることをしてしまう，発言する」のははずかしいことになるし，「隣と相談」は，「わかっている子からわかっていない子が教えてもらう」ことになってしまうし，学年，学校種があがっていくにつれて，「借金の積み重ね」みたいな感じが増えていったり，「数学嫌い」あるいは，「不安や恐怖」のモトになってしまったりするわけです。 - 特にスモールステップにするとき，「〇や×」ははっきりしてい「間違ったときに，クリアすべきこと」が明確だったりするわけで，それを一つずつクリアして「みんながわかるところに到達する」というのも，もちろん，一つの方法なのですけど。 - でも，そもそも「そういうもの」なのでしょうか。つまり，「正確かどうかはすべてはっきりしているもの」なのでしょうか。 ***0.2.1 前回の問題は，｢奥が深い」/ 「一つの正解なのか?」と言われると，.... - 前回の問題は，「そういうものではない側面もある」ことを理解してほしいから扱っていました。 - 「いろいろな気づき」の可能性がある問題ですよね。 - その気づきは，「一つの数だけに通用する」ものではなく，「それがわかれば，もう少し広い世界に通用する結果」を見抜けるものですよね。 -- 「もう少し広い世界に通用するアイデアなんだ! 」と思ってほしいのです。 -- 「一を聞いて，十を知る」ことのおもしろさをわかってほしいのです。 --- 「マイナスを聞いて，プラスを知る」ではないですよね。 -- 「2+3=5」は，「10+11=21」にも通用し，「1兆3でも大丈夫」で，「〇〇だったら，必ずうまくいく」と見抜いてほしいわけです。 -- 中学校では，そういう一般化された知識を表現するために，文字を使ったりします。 -- 小学校では，基本的に，文字は使いません。でも，「見抜くことの魅力」は，体験してほしいし，それは「ねらいの一つ」のはずです。 - 普通の問題なら，「それが見抜けるかどうか」で，〇と×が分かれるかもしれません。 - でも，今回は，まだ「先」がありますよね。 -- 1+2+3 = 6 から なにかを見抜く人 -- 3+4+5+6+7 = 30 から，なにかを見抜く人 -- 「それらのことから，さらに先のこと」を見抜く人 -- いろいろです。 -- これらを見抜けないと，「正解ではない」のでしょうか。 -- いわゆる，「部分点」を考えるといいともいえますね。 - 次の突破口は何でしょう。「いくつか」あります。 -- 「5の倍数なら，5つの和で表せます」というのは，本当に正しい命題ですか? -- 「3個, 5個, 7個,.... あそうか，わかっちゃった。」たしかに，すごいことを見抜いたけど，なにかちがうことに気づくチャンスでもありますね。 - そこを打開する方法も，実は複数あります。どちらがいいとはかぎりません。そして，本当は，この問題は，「そこ」が醍醐味でもあります。 - ちがうところに注目することも可能ですね。 -- 8+9+10 = 27 -- 14+15=27 -- 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 もそうだ。 - ここから，何に気づけるのでしょう。 - 気づいたことに焦点を当てると，そもそも「何が問題なのか」が変わります。 - いや，そもそも算数は，｢考える」ことに焦点を当てたいわけで，「気づいたこと」はどういう価値があるかを明確に表現しようとすると，「問題」と「その解答」という形で，わかったことを明確に表現するような，そういう教科です。 - 実はこの問題，数学的に「すっきりする」には，つまり，場合分けなどしないで答えを表現するには，一旦問題は自然数の世界でなく，整数の世界までひろげて考える方が「自然」なのです。 - 「そうしなければならない」わけではありません。「そうする手もある」だけです。 - でもきっと，数学科の学生に対しては，「そういう理解ができることを求める問題」として位置づけますし，｢同じようなことを経験した問題例を探せ」と指示すると思います。 ***0.2.2 前回の問題は，「ほぼ全員にとって，自分なりの数学的活動ができるはず」の問題 -- 小学生でも，きっと見つけること，ありますよね。(10はどう? ボーリングみたい どういうこと 1+2+3+4=10 とか) -- 理学部数学科の学生は，だいたい，こうなります。 (ΣK = N(N+1)/2 だから，一般式は N(N+1)/2 - M(M+1)/2 になる で，その式は何を意味しているの? わからない) -- みなさんも，多くの方は，「なにかしてみた」はずです。 -- いや，「正解を知らないからわからない」という方もいたかもしれません。でも，それを活性化したいから，具体的な数を割り振りました。 - とりあえずの活動をして，とりあえずの結果を得て，でもそれだけでは正確でなくて，そこからまた少し｢考える」ことで，前に進みました。 - 一人だけで進んだとはかぎりません。友だちと相談したこともあるでしょう。 - 全員の結果を観察することで，前に進んだこともあるでしょう。 - 教室の前で，私と誰かのやりとりの中で，黒板にかくのを観察して，「あ，そうか」と思ったこともあるでしょう。 - それはきっと，「正解を教えてもらって，それをおぼえるだけのこと」ではなかったと，思うのです。 - 今の学習指導要領での表現でいえば，それは「数学的活動」なのだろうと思います。 - 「何をした」のでしょうね。 - それをきちんと意識化し，そういうことを，子どもが行えるようにすることを期待したいわけです。 - 「それをきちんと意識化し，言葉などでも表現できるようにすること」に焦点を当てるのが，「内容」で，「子どもが行えるようにする」のが，指導法といえますが，それらは無関係ではありません。 **0.3 「わかる」のには，いろいろな側面も，段階もきっとある - ある授業を観察して思いました。 - ある意味で，小学生が「わかる」様子って，「奇跡の連続」です。 - その授業では，「角」を導入していました。 - 三角形の一つの角以外の部分を先生(実習生)は隠して「ここ」といったけど，子どもにとってそれは「隅にみえる三角形」と感じたり，「二つの辺」と感じたりします。 - そもそも，みなさんは語れますか? ｢角って何?」 - 私には自信はありません。 - でも，いろいろな活動を通していく中で，「こういう問題を考えるときに，角というのを意識すると，こんなことがわかり，それを通して，角ってなにかがわかったような気になっている」 - 分数なんかも一緒で，いろいろな側面があるから，きっとみなさんは，分数を「きちんとわかっている」とはいえないかもしれません。 - でも，そういう多面的な，そして多段階的な理解のどこかにいる，いろいろな個が，そのわかり方に応じて，いろいろなことを発言したり，活動をしたり，そういうことをしながら，なにか「おもしろい活動」をして，理解を深めたり，概念形成したりしていくのが，きっと小学校での学びなのだと思います。 **0.4 この授業では，「活動」を重視しながらすすめたい。 - 基本的には，「問題を解決する」ことを通して。 - 「正解を知っている人が，それを板書する」ことを主役にするつもりはありません。 - 「いろいろなアプローチ」を表現し，それをもとに，みなさんが活動することを主軸にするような授業です。 - 逆にいえば，「わからなさが残る」こともあるかもしれません。 - 別の言い方でいえば，「おもしろさ」や，「いろいろな人が参加してくれるからこそできること」を実感してみたい授業です。 -- うまくいくかどうかはわからないけど **0.5 「みなさんの書き込み」から -私にとって，ちょっとショックだった反応がありました。 -学校でも，「よくある」ことかもしれません。教員側の意図と，学生側(子ども側)の受け止め方がずれることは「ありうる」ことです。 -そしてまた，「むずかしい」ことでもあるのです。 -普通の授業でいえば，「誤答などを生かす」つもりでいても，子どもは「公開処刑」のように受け止めてしまうこともあります。いや，「そう受け止めた」段階で，それはハラスメントになるのかもしれません。少なくとも「そう受け止めた方がいた」としたら，それは申し訳なかったと思います。 -私にとって，これまでの授業の中でも，「再履修」の方々は，いろいろな意味で，「サポートしなければならない方々」です。欠席しがちな学生もいれば，テストが苦手な学生もいます。そもそも算数・数学が苦手な方もいます。 -いろいろな意味で，「授業の中で活躍する機会をより多く提供したい」方々と思っています。 -「よくわかっていない子どもを演じてね」というような言い方をすることもあります。 -少なくとも教員になろうとしているみなさんにとって，「わかる」こと以上に，「わからなさ」を理解することの方がずっと重要で，そしてむずかしいのです。 -もっと強い言い方をすれば，私もみなさんも，「ちゃんとわかっているか」といえば，決してそんなことはないはずで，「どういうことに関してわかっていないか」を把握するところから，「学びはうまれる」はずなのです。 -それはきっと小学校での学びもみんなそうだと思います。 -「わからない」を明確にでき，適切な課題をつくれ，そして，いい学びをつくれることを「よかった」という感覚で共有できることは，この授業の一つの目標でもあり，また，「授業をそういう場として認識していくこと」もこの授業の一つの目標だと思います。 -でも，それは「みなさんが，そう思えること」も大切なことであり，もし，不快な思いをした方々がいたら，それは申し訳なかったと思いますし，そう感じないですむ範囲の中で，工夫していくことが必要ですよね。 *1.算数科の領域の構成 / 今と過去 **1.1 「解説」の目次をみると，....え，誤植なの? / Cが二つある -- 「5つの領域」なのだが，記号は，A,B,C,C,Dと，4種類しかない。 - p.38に，「小学校算数科における領域構成の見直し」がある - 中高との関わりは，わかりやすくなった。 -- 中学校では，A 数と式 B 図形 C 関数 D データの活用 につながっていく。(C 測定 につながるところがないともいえるが....) - ある意味では，「数量関係」はわかりにくかったともいえるが,.....。 **2.2 過去の「数量関係」は，他の領域とは位置づけが違った。 - 他が「対象が明確」であるのに対して，数量関係は，｢考え方」中心の領域 --具体的には「関数の考え」「式の表現と読み」「資料の整理」だが，広く数学的考え方を扱う領域といえる。(他にも，集合の考え，記号化の考えなど，....) -- 「資料の整理」は，今のご時世に合わせて，「データの活用」となり，統計教育は，小～高において，重視される方向性になることが表現されているといえる。 -- 「関数の考え」は，本来は，「考え」であって，知識中心ではないのだが，「変化と関係」という単元になったことで，｢考え」としての側面がうまく反映されるのかどうかが，疑問ともいえる。 -- 「式の表現と読み」などは，「数と計算」の中に組み込まれたような感じがする。 -- しかし，そもそも，数量関係というのは，他の単元と違って，｢他領域や他教科で使われる考え方」を中心に構成されていて，「数学的な考え方」を表現していたはずで，今回の指導要領では，ある意味で，「数学的活動」という言葉で表現されるようになっている感はあるけれども，...どうなのだろうか。 - そういう意味で，「この授業の中」では，ある意味で，過去の枠組みを踏襲している感じがあるけれども，「関数の考え」「式の表現と読み」は，それぞれ1時間ずつ確保して，進めたい。(「資料の整理」は，「データの活用」として扱うけれども) *2. 「関数の考え」(と変化と関数) **2.1 関数 - これ，嫌いな人，苦手な人が多い。 - まず，そこを突破口にして，議論してみたい。 - 関数って，なんだろうか。 - 中学校や高校では，みなさんは，何を学んだのだろうか。 **2.2 関数は何のために役立つのか - そう「役立つ」って，キーワードだと思うんですよね。 **2.3 どんな関数を知っていますか? それはどういうことを表現するのに役立つのでしょう。 - 多くの関数は，「現実」と結びついているはずなのです。 ***2.3.付記 Excelの，こんな機能，知っていますか? - 「近似曲線」 -- 小学校の授業でも，よく，こんなことが議論になることがあります。 -- たとえば，理科の実験で，温度変化などの記録を取り，それをグラフにプロットしたあと，「つなげたい」と思うとき，「それぞれの点を結んだ折れ線にする」のか，「適当な直線をひく」方がいいのか。 -- 折れ線をひくのは簡単だし，散布図をかくときに，選択できます。点を通る曲線も選択できます。 -- 「適当な直線」って，Excelなら引けるのでしょうか。 -- この手のことは，fittingと呼ばれますが，数学の授業で教えられることも，使うこともないですよね。 -- 理科の先生なら知っているのかな? -- みなさんは? -@dis2stop.pdf,自転車の制動距離(高校・指導要領解説2009より) -@dis2stop.png,拡大 -@dis2stop.xlsx,Excelのファイル **2.4 「関数の考え」 を考えるために - ある問題を解いてみましょう。たぶん，次の3種類になると思います。 -- 中2的な解き方 -- 中1的な解き方 -- 小学校的な解き方 -それぞれに異なる特徴があると思います。 **2.5 「関数の考え」って，どう言葉で表現するといいだろう **2.6 こんな問題でも，関数の考えでとくことができる *3 課題 - 「今日の感想」を，まなびネットで *4 付記 -前回の課題は，基本的に，授業後10日程度。欠席した方は，多少の日数を追加したくらいで提出してください。 -ある日以降受け付けないというようなことはいいません。 -でも，「忘れてしまう」し，「課題がたまる」のもろくなことがないので，目安としての「10日くらい」ということにしています。 -逆に，日程を厳守する場合は，明示します。(その内容を，授業で発表するような場合)