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*0.はじめに -「ここに書いた」ことを授業の中ですべて解説するわけではありません。 -「ここにあえて書いていない」こともあります。 -授業は「対面での会話の中で進める」ものです。 -そして，「学び」は，みなさんが個人の中で行うものも含めての「学び」です。 -毎回，「感想」に答えるわけではありませんが，いろいろな形で「生かせれば」と思います。 -さらに深めたいこと，わからないことがあったら，授業の中で質問してくれてもいいし，「まなびネット」やメールで話題にしてくれてもかまいません。 **0.1 先週のビデオのこと -一度観察してみると，いいですよ。特に「前からみえる景色」は，いろいろな情報を知らせてくれます。 -算数・数学って，「考える」ことが中心だし，だからこそ，表情も変わるし，「気づいた瞬間」とかが，大切だったり，「わからない空気感」も，感じられるわけですよね。 -「正解を発表」して，「答え合わせをする」ことだけに，子どもの発表を使うのは，もったいないと思いませんか? **0.2 算数では，「わかった/わからない」のYes/Noがはっきりしているように思えるけど,.... - テストで採点するとき，〇か×かがはっきりしているのが，算数です。 - それは，「いい面」もあります。 - でも，「正解主義」に陥ってしまうと，いつも，「先生がいう通りにできるようになること」が重要になってくるし，「間違っていることをしてしまう，発言する」のははずかしいことになるし，「隣と相談」は，「わかっている子からわかっていない子が教えてもらう」ことになってしまうし，学年，学校種があがっていくにつれて，「借金の積み重ね」みたいな感じが増えていったり，「数学嫌い」あるいは，「不安や恐怖」のモトになってしまったりするわけです。 - 特にスモールステップにするとき，「〇や×」ははっきりしてい「間違ったときに，クリアすべきこと」が明確だったりするわけで，それを一つずつクリアして「みんながわかるところに到達する」というのも，もちろん，一つの方法なのですけど。 - でも，そもそも「そういうもの」なのでしょうか。つまり，「正確かどうかはすべてはっきりしているもの」なのでしょうか。 ***0.2.1 前回の問題は，｢奥が深い」/ 「一つの正解なのか?」と言われると，.... - 前回の問題は，「そういうものではない側面もある」ことを理解してほしいから扱っていました。 - 「いろいろな気づき」の可能性がある問題ですよね。 - その気づきは，「一つの数だけに通用する」ものではなく，「それがわかれば，もう少し広い世界に通用する結果」を見抜けるものですよね。 -- 「もう少し広い世界に通用するアイデアなんだ! 」と思ってほしいのです。 -- 「一を聞いて，十を知る」ことのおもしろさをわかってほしいのです。 --- 「マイナスを聞いて，プラスを知る」ではないですよね。 -- 「2+3=5」は，「10+11=21」にも通用し，「1兆3でも大丈夫」で，「〇〇だったら，必ずうまくいく」と見抜いてほしいわけです。 -- 中学校では，そういう一般化された知識を表現するために，文字を使ったりします。 -- 小学校では，基本的に，文字は使いません。でも，「見抜くことの魅力」は，体験してほしいし，それは「ねらいの一つ」のはずです。 - 普通の問題なら，「それが見抜けるかどうか」で，〇と×が分かれるかもしれません。 - でも，今回は，まだ「先」がありますよね。 -- 1+2+3 = 6 から なにかを見抜く人 -- 3+4+5+6+7 = 30 から，なにかを見抜く人 -- 「それらのことから，さらに先のこと」を見抜く人 -- いろいろです。 -- これらを見抜けないと，「正解ではない」のでしょうか。 -- いわゆる，「部分点」を考えるといいともいえますね。 - 次の突破口は何でしょう。「いくつか」あります。 -- 「5の倍数なら，5つの和で表せます」というのは，本当に正しい命題ですか? -- 「3個, 5個, 7個,.... あそうか，わかっちゃった。」たしかに，すごいことを見抜いたけど，なにかちがうことに気づくチャンスでもありますね。 - そこを打開する方法も，実は複数あります。どちらがいいとはかぎりません。そして，本当は，この問題は，「そこ」が醍醐味でもあります。 - ちがうところに注目することも可能ですね。 -- 8+9+10 = 27 -- 14+15=27 -- 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 もそうだ。 - ここから，何に気づけるのでしょう。 - 気づいたことに焦点を当てると，そもそも「何が問題なのか」が変わります。 - いや，そもそも算数は，｢考える」ことに焦点を当てたいわけで，「気づいたこと」はどういう価値があるかを明確に表現しようとすると，「問題」と「その解答」という形で，わかったことを明確に表現するような，そういう教科です。 - 実はこの問題，数学的に「すっきりする」には，つまり，場合分けなどしないで答えを表現するには，一旦問題は自然数の世界でなく，整数の世界までひろげて考える方が「自然」なのです。 - 「そうしなければならない」わけではありません。「そうする手もある」だけです。 - でもきっと，数学科の学生に対しては，「そういう理解ができることを求める問題」として位置づけますし，｢同じようなことを経験した問題例を探せ」と指示すると思います。 ***0.2.2 前回の問題は，「ほぼ全員にとって，自分なりの数学的活動ができるはず」の問題 -- 小学生でも，きっと見つけること，ありますよね。(10はどう? ボーリングみたい どういうこと 1+2+3+4=10 とか) -- 理学部数学科の学生は，だいたい，こうなります。 (ΣK = N(N+1)/2 だから，一般式は N(N+1)/2 - M(M+1)/2 になる で，その式は何を意味しているの? わからない) -- みなさんも，多くの方は，「なにかしてみた」はずです。 -- いや，「正解を知らないからわからない」という方もいたかもしれません。でも，それを活性化したいから，具体的な数を割り振りました。 - とりあえずの活動をして，とりあえずの結果を得て，でもそれだけでは正確でなくて，そこからまた少し｢考える」ことで，前に進みました。 - 一人だけで進んだとはかぎりません。友だちと相談したこともあるでしょう。 - 全員の結果を観察することで，前に進んだこともあるでしょう。 - 教室の前で，私と誰かのやりとりの中で，黒板にかくのを観察して，「あ，そうか」と思ったこともあるでしょう。 - それはきっと，「正解を教えてもらって，それをおぼえるだけのこと」ではなかったと，思うのです。 - 今の学習指導要領での表現でいえば，それは「数学的活動」なのだろうと思います。 - 「何をした」のでしょうね。 - それをきちんと意識化し，そういうことを，子どもが行えるようにすることを期待したいわけです。 - 「それをきちんと意識化し，言葉などでも表現できるようにすること」に焦点を当てるのが，「内容」で，「子どもが行えるようにする」のが，指導法といえますが，それらは無関係ではありません。 **0.3 「わかる」のには，いろいろな側面も，段階もきっとある - ある授業を観察して思いました。 - ある意味で，小学生が「わかる」様子って，「奇跡の連続」です。 - その授業では，「角」を導入していました。 - 三角形の一つの角以外の部分を先生(実習生)は隠して「ここ」といったけど，子どもにとってそれは「隅にみえる三角形」と感じたり，「二つの辺」と感じたりします。 - そもそも，みなさんは語れますか? ｢角って何?」 - 私には自信はありません。 - でも，いろいろな活動を通していく中で，「こういう問題を考えるときに，角というのを意識すると，こんなことがわかり，それを通して，角ってなにかがわかったような気になっている」 - 分数なんかも一緒で，いろいろな側面があるから，きっとみなさんは，分数を「きちんとわかっている」とはいえないかもしれません。 - でも，そういう多面的な，そして多段階的な理解のどこかにいる，いろいろな個が，そのわかり方に応じて，いろいろなことを発言したり，活動をしたり，そういうことをしながら，なにか「おもしろい活動」をして，理解を深めたり，概念形成したりしていくのが，きっと小学校での学びなのだと思います。 **0.4 この授業では，「活動」を重視しながらすすめたい。 - 基本的には，「問題を解決する」ことを通して。 - 「正解を知っている人が，それを板書する」ことを主役にするつもりはありません。 - 「いろいろなアプローチ」を表現し，それをもとに，みなさんが活動することを主軸にするような授業です。 - 逆にいえば，「わからなさが残る」こともあるかもしれません。 - 別の言い方でいえば，「おもしろさ」や，「いろいろな人が参加してくれるからこそできること」を実感してみたい授業です。 -- うまくいくかどうかはわからないけど **0.5 「みなさんの書き込み」から -急に当てられると頭が真っ白になるため、当てる前に話し合いの時間が欲しい。 -- 「白くさせちゃってごめん」でも，「わからないなら，わからないって言ってくれればいいのです」時間をとりますから。 -学校で授業に出る意味とはなにか、と問われたときに、自分では答えが思いつかなかったが、授業を通して、ひとりひとりに担当する数字が与えられ、実際に問題を解きながら考えたことで、授業に「参加」することができたと感じた。 -- 「学校が楽しかった人」は，きっと今まで先生は工夫してくれたか，あるいは「いい友だちとの学び」があったのだと思います。小学校はそういうこと多かったんじゃないかな。高校はどうだったか，わからないけど，でも，努力している先生の授業での生徒の表情と，そうでない先生のそれでは，全然ちがうのはたしかなわけで，この授業では，前者でありたいと思っています。 -解説をもう少しゆっくりしていただけると嬉しいです。 --ごめん，わかりにくい解説で。 --今後も，「きちんとわかってくれないといけないこと」は，きちんと解説できるようにしたいと思うし，それが「わからない」ことに関しては，「わからない」と表明してください。 --でも，別の言い方をすれば，「全部がクリアにわかる」のは，たぶん無理です。あるいは，「よくわからない世界がみえてきた」としたら，それはあなたの学びが成長したことを意味すると思います。 --その「わからない」ものを，自分の力でわかるように「自ら学ぶこと」が，大学生的な学びなのです。 --そのためのリソースは世の中にあふれているのですから。 -問題の解説が少し早いように感じた。内容を理解しきれないまま次の内容に移ってしまい集中して聞けないことがあったため、解説が終わったら定期的にメモを取る時間や頭の中で整理する時間が欲しい。 --ごめんなさい。ただ，特に前回の問題は，ちょっと特別でした。今回以降は，少し変わると思います。 -発言を求められる時に出席確認の順番であったり規則性があると準備がしやすくて答えやすくなると思います。席の近くの人が全員わからない内容であると、その周辺をあてても誰もわからないということになってしまうことがありました。 --「指名」には，いろいろな側面がありますが，基本的に，｢意図的指名」と「そうでない指名」があります。後者の代表的なものが，「番号順」や「席順」ですよね。この授業でも，「そういうのを」中心にするでしょう。 --指名されたとき，「わからない」なら，わからないでいいのです。そう言ってくれれば，「じゃあ，時間をとろうか」「隣と相談していいよ」「これ，むずかしいね，じゃあ，わかった人」とすればいいだけのことなのです。 --たとえば，ある問題を解く時間を確保して，なにか気づいた人とそうでない人と「わかれてしまった」としたら，順番に聞く方が酷です。「あ，あなたわからなかった人なのね」と。高校なら，練習問題を順番に解くとしたら，「予習で準備しておけよ」ですけど。そういうときは，わかった感じがする人を｢意図的に指名する」方が妥当だと思います。 --それ以外でも，表情をみながら，「あなた」と指名することも，授業の自然な流れを生成する上で大切なことも多々あります。 -みんなで具体的な数字から法則や規則性を考えだすことから、いろいろな発見があって自分だけでは見えなかったことも見えてきて面白かった。一般式だけではイメージしにくいと感じていたので、具体例から考えることで分かりやすかった。 --はい。それって，「正解を発表して，それをノートに写しなさい」というのとは，ちょっと違いますよね。いろいろなチャンネルを使って，「発見の機会」を提供したいということでもあります。 -指示がわかりにくいことがあり、何を答えたらよいか、何を求められているかがわからない人も多かったように思える。そのため、特に指名して答えさせるときは、明確に何を聞いているかを伝えてくださるとありがたい。 -- これは，私が「よく指摘されること」でもあるので，反省しないといけませんが,... -- 「明確な問いや指示をすべき」は，心得ないといけませんね。で，「わかりにくい」なら，「わからんよ」と言葉や表情で示してください。 -- でも，逆に，「わかりにくさ」の原因が問いが明確ではない等とはちがうところにあることも，ないわけではありません。 -- それはまた，いろいろなケースがありますが，算数での｢オープンな問い」つまり，答えが多様にありうる問題を意図していることもあります。 -- そういう問いに慣れていないからわかりにくいということもあります。 -- いずれにしても，「わからなさ」は，「いい学びのきっかけ」として生かしていきたいという意図が明確なときは，その「わからなさ」を重視していきましょう。 -仲の良い人と座れるので自由席であることはありがたいのだが、今夏のように教室の半分より後ろに人が固まり、先生がそれに合わせて後ろに移動して話すと、体を後ろに向けなければならない席が出てくる。教室に対して学生が少ないので、今後も先生が学生に近づいて話すのであれば、座る席の制限などを設けていただけるとありがたい。 -- お気持ち，よくわかります。 -- ここは，「私のスタンス」を明確にすることで，「それに対応しながら，一番気持ちよく授業を過ごせるように工夫すること」を期待させてください。 --- 私は，大学生は，できるだけ「自由」にし，できるだけ「自分で考えて行動する」ようでありたいと思います。 --- 「席は自由席」でいたいと思います。 --- 「理由ある行動」であれば，多少の遅刻であっても，早退であっても，リモートであっても，その学びの機会を提供したいと思います。 --- 他の方の学びを侵す権利は認めませんが。 --- でも，みなさんが後ろに行くなら，「聞こえる」ところに移動するでしょう。 --- 対話のない授業なんて，意味がないと思っていますから，それができない座り方をみなさんが選択するなら，私の方が動くしかありません。 --- 極端な場合，後ろの黒板を使うかもしれません。 --- みなさんが前に移動して書くよりも，後ろの方がましだと思ったら --- それは，「みなさんが学ぶ機会を最適化する」のが，私の仕事だからです。 --- ちなみに，「後ろに隙間がないように座る」のではないクラスも，それなりにあります。 --- 40人程度の集団で「後ろに隙間がないように座る」と「前はかなり空く」ので，授業として「やりにくい」ですよね。そういうのを「選択する学生集団」は，....きっと「おさない」んでしょうね。でも，「指示」をするつもりはありません。具合が悪いと思ったら，自発的に行動してください。 --- 逆にいえば，最前列は最適とはかぎりませんから。 --- 席順を決める先生もいますが，私はそれはしたくありません。「指名しやすさ」や「欠席の確認にしやすさ」は，教員には便利ですけど，今の時代には合わないように感じますから。(でも，他の教員の行動に口を出すつもりはありません。それぞれの規範に基づいて行動するのが大学であり，いろいろな行動から「学ぶ」のがみなさんですから。) --- なお，以前は，すべての授業を撮影し，動画を提供しましたが，今年はそれは前回のみにします。 -学生に何分考える時間が欲しいかを聞くのは今後も続けて欲しい。 --これは特に，前回の問題は，「おわりがない」のと，「数分後に，次のステージにいきたい」ことがあったから，たとえ「そう聞かなくても，みなさんがそれなりに取り組める時間は確保し，ある程度できたと思ったら発表等に進む」感じにします。 --小学校みたいに，キッチンタイマーを使ったりはしません。逆にいえば，あれ，けっこう焦りますよね。個人的には好きではありません。 *1.算数科の領域の構成 / 今と過去 **1.1 「解説」の目次をみると，....え，誤植なの? / Cが二つある -- 「5つの領域」なのだが，記号は，A,B,C,C,Dと，4種類しかない。 - p.38に，「小学校算数科における領域構成の見直し」がある - 中高との関わりは，わかりやすくなった。 -- 中学校では，A 数と式 B 図形 C 関数 D データの活用 につながっていく。(C 測定 につながるところがないともいえるが....) - ある意味では，「数量関係」はわかりにくかったともいえるが,.....。 **2.2 過去の「数量関係」は，他の領域とは位置づけが違った。 - 他が「対象が明確」であるのに対して，数量関係は，｢考え方」中心の領域 --具体的には「関数の考え」「式の表現と読み」「資料の整理」だが，広く数学的考え方を扱う領域といえる。(他にも，集合の考え，記号化の考えなど，....) -- 「資料の整理」は，今のご時世に合わせて，「データの活用」となり，統計教育は，小～高において，重視される方向性になることが表現されているといえる。 -- 「関数の考え」は，本来は，「考え」であって，知識中心ではないのだが，「変化と関係」という単元になったことで，｢考え」としての側面がうまく反映されるのかどうかが，疑問ともいえる。 -- 「式の表現と読み」などは，「数と計算」の中に組み込まれたような感じがする。 -- しかし，そもそも，数量関係というのは，他の単元と違って，｢他領域や他教科で使われる考え方」を中心に構成されていて，「数学的な考え方」を表現していたはずで，今回の指導要領では，ある意味で，「数学的活動」という言葉で表現されるようになっている感はあるけれども，...どうなのだろうか。 - そういう意味で，「この授業の中」では，ある意味で，過去の枠組みを踏襲している感じがあるけれども，「関数の考え」「式の表現と読み」は，それぞれ1時間ずつ確保して，進めたい。(「資料の整理」は，「データの活用」として扱うけれども) *2. 「関数の考え」(と変化と関数) **2.1 関数 - これ，嫌いな人，苦手な人が多い。 - まず，そこを突破口にして，議論してみたい。 - 関数って，なんだろうか。 - 中学校や高校では，みなさんは，何を学んだのだろうか。 **2.2 関数は何のために役立つのか - そう「役立つ」って，キーワードだと思うんですよね。 **2.3 どんな関数を知っていますか? それはどういうことを表現するのに役立つのでしょう。 - 多くの関数は，「現実」と結びついているはずなのです。 ***2.3.付記 Excelの，こんな機能，知っていますか? - 「近似曲線」 -- 小学校の授業でも，よく，こんなことが議論になることがあります。 -- たとえば，理科の実験で，温度変化などの記録を取り，それをグラフにプロットしたあと，「つなげたい」と思うとき，「それぞれの点を結んだ折れ線にする」のか，「適当な直線をひく」方がいいのか。 -- 折れ線をひくのは簡単だし，散布図をかくときに，選択できます。点を通る曲線も選択できます。 -- 「適当な直線」って，Excelなら引けるのでしょうか。 -- この手のことは，fittingと呼ばれますが，数学の授業で教えられることも，使うこともないですよね。 -- 理科の先生なら知っているのかな? -- みなさんは? -@dis2stop.pdf,自転車の制動距離(高校・指導要領解説2009より) -@dis2stop.png,拡大 **2.4 「関数の考え」 を考えるために - ある問題を解いてみましょう。たぶん，次の3種類になると思います。 -- 中2的な解き方 -- 中1的な解き方 -- 小学校的な解き方 -それぞれに異なる特徴があると思います。 **2.5 「関数の考え」って，どう言葉で表現するといいだろう **2.6 こんな問題でも，関数の考えでとくことができる *3 課題 - 「今日の感想」を，まなびネットで *4 付記 -前回の課題は，基本的に，授業後10日程度。欠席した方は，多少の日数を追加したくらいで提出してください。 -ある日以降受け付けないというようなことはいいません。 -でも，「忘れてしまう」し，「課題がたまる」のもろくなことがないので，目安としての「10日くらい」ということにしています。 -逆に，日程を厳守する場合は，明示します。(その内容を，授業で発表するような場合)